Giải bài 39 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số $y = {x^2}.\ln x$. a) $y' = 2{\rm{x}}.\ln {\rm{x}}$. b) $y' = 0$ khi $x = 1$. c) $y\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = - \frac{1}{{2{\rm{e}}}}$. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {\frac{1}{e};e} \right]$ bằng $- \frac{1}{{2{\rm{e}}}}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln x} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}.\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2{\rm{x}}.\ln x + x$. Vậy a) sai.

$y' = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}.\ln {\rm{x}} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln {\rm{x}} =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt e }}\end{array} \right.$. Vậy b) sai.

$y\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right)^2}.\ln \left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = \frac{1}{e}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{{2e}}$. Vậy c) đúng.

Trên đoạn $\left[ {\frac{1}{e};e} \right]$, $y' = 0$ khi $x = \frac{1}{{\sqrt e }}$.

$y\left( {\frac{1}{e}} \right) =  - \frac{1}{{{e^2}}};y\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) =  - \frac{1}{{2e}};y\left( e \right) = {e^2}$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{e};e} \right]} y =  - \frac{1}{{2{\rm{e}}}}$ tại $x = \frac{1}{{\sqrt e }}$. Vậy d) đúng.

a) S.                            b) S.                            c) Đ.                            d) Đ.