Giải bài 39 trang 18 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = {x^2}.ln x). a) (y' = 2{rm{x}}.ln {rm{x}}). b) (y' = 0) khi (x = 1). c) (yleft( {frac{1}{{sqrt e }}} right) = - frac{1}{{2{rm{e}}}}). d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn (left[ {frac{1}{e};e} right]) bằng ( - frac{1}{{2{rm{e}}}}).
Đề bài
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số \(y = {x^2}.\ln x\). a) \(y' = 2{\rm{x}}.\ln {\rm{x}}\). b) \(y' = 0\) khi \(x = 1\). c) \(y\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = - \frac{1}{{2{\rm{e}}}}\). d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};e} \right]\) bằng \( - \frac{1}{{2{\rm{e}}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln x} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}.\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2{\rm{x}}.\ln x + x\). Vậy a) sai.
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}.\ln {\rm{x}} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln {\rm{x}} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt e }}\end{array} \right.\). Vậy b) sai.
\(y\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right)^2}.\ln \left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = \frac{1}{e}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{2e}}\). Vậy c) đúng.
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};e} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = \frac{1}{{\sqrt e }}\).
\(y\left( {\frac{1}{e}} \right) = - \frac{1}{{{e^2}}};y\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = - \frac{1}{{2e}};y\left( e \right) = {e^2}\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{e};e} \right]} y = - \frac{1}{{2{\rm{e}}}}\) tại \(x = \frac{1}{{\sqrt e }}\). Vậy d) đúng.
a) S. b) S. c) Đ. d) Đ.