Giải bài 4. 17 trang 46 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Với $\alpha  < \beta  < {90^o}$, hãy chứng minh rằng:

a) $\cos \alpha  > \cos \beta$ (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4,15);

b) $\sin \alpha  < \sin \beta$ (HD. Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$).

Lời giải chi tiết

Theo ví dụ 5 ta có: khi cho số đo góc nhọn $\alpha$ tăng lên thì tan$\alpha$ tăng lên, tức là $\alpha  < \beta  < {90^o}$ thì $\tan \alpha  < \tan \beta$.

a) Nếu $\alpha  < \beta  < {90^o}$ thì ${\tan ^2}\alpha  < {\tan ^2}\beta$.

Do đó, $1 + {\tan ^2}\alpha  < 1 + {\tan ^2}\beta$.

Suy ra $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} < \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta }}$.

Do đó, ${\cos ^2}\alpha  > {\cos ^2}\beta$.

Vậy $\cos \alpha  > \cos \beta$.

b) Theo a ta có: ${\cos ^2}\alpha  > {\cos ^2}\beta$ nên $1 - {\cos ^2}\alpha  < 1 - {\cos ^2}\beta$.

Suy ra ${\sin ^2}\alpha  < {\sin ^2}\beta$.

Vậy $\sin \alpha  < \sin \beta$.