Giải bài 4 trang 26 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Giải các phương trình sau:
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) \({4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 } \);
b) \({9^{5x}} = {27^{x - 2}}\);
c) \({\log _{81}}x = \frac{1}{2}\);
d) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 1} \right)\);
e) \({\log _5}\left( {x - 2} \right) + {\log _5}\left( {x + 2} \right) = 1\);
g) \({\log _x}8 = \frac{3}{4}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, b, c) Sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ cơ bản để giải phương trình:
\({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
+ Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\)
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha \), tổng quát hơn: \({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)
d, e, g) Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:
\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Lời giải chi tiết
a) \({4^x} = \sqrt {2\sqrt 2 } \) \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4x}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \right)^{\frac{1}{2}}} \) \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^{4x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{\frac{3}{2}}} \) \( \Leftrightarrow 4x = \frac{3}{2} \) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{8}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{3}{8}\).
b) \({9^{5x}} = {27^{x - 2}} \) \( \Leftrightarrow {3^{10x}} = {3^{3\left( {x - 2} \right)}} \) \( \Leftrightarrow 10x = 3x - 6 \) \( \Leftrightarrow 7x = - 6 \) \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 6}}{7}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{ - 6}}{7}\)
c) Điều kiện: \(x > 0\)
\({\log _{81}}x = \frac{1}{2} \) \( \Leftrightarrow x = {81^{\frac{1}{2}}} = 9\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 9\)
d) Điều kiện: \(x > \frac{1}{4}\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 1} \right) \) \( \Leftrightarrow 3x + 1 = 4x - 1 \) \( \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).
e) Điều kiện: \(x > 2\)
\({\log _5}\left( {x - 2} \right) + {\log _5}\left( {x + 2} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {\log _5}5 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 5\)
\( \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 9 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {TM} \right)\\x = - 3\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).
g) Điều kiện: \(x > 0,x \ne 1\)
\({\log _x}8 = \frac{3}{4} \) \( \Leftrightarrow 8 = {x^{\frac{3}{4}}} \) \( \Leftrightarrow {16^{\frac{3}{4}}} = {x^{\frac{3}{4}}} \) \( \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 16\).