Giải bài 4 trang 39 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} + 1$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng $y =  - x + 2$;

b) Vuông góc với đường thẳng $y =  - \frac{1}{4}x - 4$;

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Lời giải chi tiết

Với ${x_0}$ bất kì ta có: $y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 1 - x_0^3 + 2x_0^2 - 1}}{{x - {x_0}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - x_0^3} \right) - 2\left( {{x^2} - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2{x_0} - 2x} \right)}}{{x - {x_0}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2{x_0} - 2x} \right) = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 - 4{x_0} = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 - 4{x_0} = 3x_0^2 - 4{x_0}$

Vậy $y'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x$

a) Tiếp tuyến tại điểm ${x_0}$ có phương trình là: $y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng $y =  - x + 2$ nên $f'\left( {{x_0}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 4{x_0} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{3}\\{x_0} = 1\end{array} \right.$

Ta có: $y\left( 1 \right) = 0,y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{22}}{{27}}$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x = 1$ là:

$y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) = \left( { - 1} \right)\left( {x - 1} \right) =  - x + 1$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x = \frac{1}{3}$ là:

$y = y'\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \left( { - 1} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \frac{{22}}{{27}} =  - x + \frac{{31}}{{27}}$

b) Tiếp tuyến tại điểm ${x_0}$ có phương trình là: $y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng $y =  - \frac{1}{4}x + 2$ nên $f'\left( {{x_0}} \right) = 4 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 4{x_0} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ - 2}}{3}\\{x_0} = 2\end{array} \right.$

Lại có $y\left( 2 \right) = 1,y\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = \frac{{ - 5}}{{27}}$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x = 2$ là:

$y = y'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + y\left( 2 \right) = 4\left( {x - 2} \right) + 1 = 4x - 7$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x = \frac{{ - 2}}{3}$ là:

$y = y'\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)\left( {x + \frac{2}{3}} \right) + y\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = 4\left( {x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{ - 5}}{{27}} = 4x + \frac{{67}}{{27}}$

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) tại điểm ${x_0}$ có phương trình là:

$y - y\left( {{x_0}} \right) = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 2x_0^2 + 1$

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) nên:

$1 = \left( {3x_0^2 - 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 2x_0^2 + 1$$\Leftrightarrow  - 3x_0^3 + 4x_0^2 + x_0^3 - 2x_0^2 = 0$

$\Leftrightarrow  - 2x_0^3 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow 2x_0^2\left( {{x_0} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 0\end{array} \right.$

Với ${x_0} = 1$ thì $y'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 4.1 =  - 1,y\left( 1 \right) = 0$. Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: $y = y'\left( 1 \right).\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) = \left( { - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 0 =  - x + 1$

Với ${x_0} = 0$ thì $f'\left( 0 \right) = {3.0^2} - 4.0 = 0,f\left( 0 \right) = 1$. Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: $y = y'\left( 0 \right).\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) = 0\left( {x - 0} \right) + 1 = 1$