Giải bài 4 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, $SA = SC,SB = SD$.

a) Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh rằng $IJ \bot \left( {SBD} \right)$.

c) Chứng minh rằng $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì $SA = SC$ nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAC. Do đó, $SO \bot AC$

Vì $SB = SD$ nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBD. Do đó, $SO \bot BD$

Vì $SO \bot AC$, $SO \bot BD$, AC và BD cắt nhau và nằm trong (ABCD).

Do đó, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

b) Vì $SO \bot AC,BD \bot AC$ (do ABCD là hình thoi tâm), SO và BD cắt nhau tại O và nằm trong (SBD) nên $AC \bot \left( {SBD} \right)$ (1)

Vì I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC nên IJ là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IJ//AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $IJ \bot \left( {SBD} \right)$.

c) Vì $SO \bot BD,BD \bot AC$, SO và AC cắt nhau tại O và nằm trong (SAC) nên $BD \bot \left( {SAC} \right)$.