Giải bài 4 trang 61 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 3y + 6z + 13 = 0,\left( \beta \right):2x + 2y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( \gamma \right):x - y - 21 = 0\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\). B. \(\left( \gamma \right) \bot \left( \beta \right)\). C. \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\). D. \(\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\).
Đề bài
Cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 3y + 6z + 13 = 0,\left( \beta \right):2x + 2y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( \gamma \right):x - y - 21 = 0\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
B. \(\left( \gamma \right) \bot \left( \beta \right)\).
C. \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).
D. \(\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}{\rm{z}} + {D_1} = 0\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}{\rm{z}} + {D_2} = 0\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\).
Khi đó \(\left( {{\alpha _1}} \right)\parallel \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{{\rm{D}}_2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)
Lời giải chi tiết
\(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;3;6} \right)\).
\(\left( \beta \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2; - 2} \right)\).
\(\left( \gamma \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.2 + 3.2 + 6.\left( { - 2} \right) = 0\) nên \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\). Vậy a) đúng, c) sai.
Chọn C.