Giải bài 4 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm toạ độ tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số sau theo tham số $m$:

$y = f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^3} - 3{x^2} + 2$.

Chứng tỏ khi $m$ thay đổi, $I$ luôn thuộc một parabol xác định.

Lời giải chi tiết

Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: $2 - m \ne 0$ hay $m \ne 2$. (*)

$y'=3\left( 2-m \right){{x}^{2}}-6x;y''=6\left( 2-m \right)x-6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2-m}$.

Vậy ${x_I} = \frac{1}{{2 - m}}$.

Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tung độ:

${y_I} = \left( {2 - m} \right).{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)^3} - 3.{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)^2} + 2 = 2 - \frac{2}{{{{\left( {2 - m} \right)}^2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)^2} =  - 2x_I^2 + 2$.

Vậy ${y_I}$ là một hàm số bậc hai theo ${x_I}$.

Suy ra tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số bậc hai $y =  - 2{x^2} + 2$.

Mặt khác ${x_I} = \frac{1}{{2 - m}}$ nên $m = 2 - \frac{1}{{{x_I}}}$.

Do $m \ne 2$ nên $2 - \frac{1}{{{x_I}}} \ne 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{{x_I}}} \ne 0$ (luôn đúng với mọi ${x_I} \in \mathbb{R}$).

Vậy khi $m$ thay đổi, $I$ luôn thuộc parabol $y =  - 2{x^2} + 2$.