Giải bài 4 trang 54 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 7 + 6t'\\z =  - 1 - 2t'\end{array} \right.$;

b) $d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}$ và $d':\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$;

c) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}$.

b) $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 7\end{array} \right.$;

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {0;1;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1;3; - 1} \right)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'\left( {2;7; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( {2;6; - 2} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {MM'}  = \left( {2;6; - 2} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {0;0;0} \right)$. Vậy ${\Delta _1}$ trùng ${\Delta _2}$.

b) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2;0;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;3;1} \right)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'\left( {0;0;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( {4;6;2} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 2;0;0} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {0; - 2;6} \right)$. Vậy ${\Delta _1}\parallel {\Delta _2}$.

c) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {1;1;2} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'\left( {2;2;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( {2;3;1} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 3;1} \right),\overrightarrow {MM'}  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = 0$. Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

d) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {1;1;2} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)$.

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'\left( {2;1;7} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( {0;1;0} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {MM'}  = \left( {1;0;5} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = 4$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.