Giải bài 48 trang 79 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD).
Đề bài
Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD). Chứng minh: AB.AE+AD.AF=AC2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vào tam giác vuông:
Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của D,B trên đường thẳng AC.
Ta có ΔAHD∽ hay AD.AF = AC.AH (1)
Tương tự \Delta AKB\backsim \Delta AEC=>\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AE} hay AB.AE = AC.AK (2).
Vì \Delta ABK\backsim \Delta CDH (cạnh huyền – góc nhọn) nên AK = HC
Từ đó, cộng (1) và (2) theo vế ta được:
AD.AF + AB.AE = AC.\left( {AH + AK} \right) = AC\left( {AH + HC} \right) = A{C^2}.