Giải bài 5. 10 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 1 - t\\z =  - 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - z = 0\)

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

b) Viết phương trình đường thẳng \(d'\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(d'\) cắt và vuông góc với \(d\).

Lời giải chi tiết

a) Do I thuộc đường thẳng d nên I có tọa độ \(I\left( {2 + 3t; - 1 - t; - 3 + 2t} \right)\).

Vì \(I \in \left( P \right)\) suy ra  \(\left( {2 + 3t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) - \left( { - 3 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 3\). Do đó \(I\left( { - 7;2; - 9} \right)\).

b) Do \(d'\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(d'\) cắt \(d\) nên giao điểm của \(d\) và \(d'\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Suy ra \(d \cap d' = I\). Mặt khác \(d'\) vuông góc với \(d\) nên tích có hướng của vectơ chỉ phương của \(d\) với vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)là một vectơ chỉ phương của \(d'\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 1;2} \right)\) suy ra vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( { - 1; - 5;2} \right)\).

Phương trình tham số của \(d'\) là \(d':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 7 - 1t\\y = 2 - 5t\\z =  - 9 + 2t\end{array} \right.\).