Giải bài 5.10 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:{x=2+3ty=−1−tz=−3+2t và mặt phẳng (P):x−y−z=0 a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng d′ nằm trên mặt phẳng (P) sao cho d′ cắt và vuông góc với d.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:{x=2+3ty=−1−tz=−3+2t và mặt phẳng (P):x−y−z=0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng d′ nằm trên mặt phẳng (P) sao cho d′ cắt và vuông góc với d.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Thay tọa độ điểm phụ thuộc tham số từ phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P), tham số tìm được sau khi giải thay lại vào phương trình của d ta xác định được tọa độ giao điểm.
Ý b: d′ đi qua I và có vectơ chỉ phương là tích có hướng của vectơ chỉ phương của d với vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết
a) Do I thuộc đường thẳng d nên I có tọa độ I(2+3t;−1−t;−3+2t).
Vì I∈(P) suy ra (2+3t)−(−1−t)−(−3+2t)=0⇔t=−3. Do đó I(−7;2;−9).
b) Do d′ nằm trên mặt phẳng (P) và d′ cắt d nên giao điểm của d và d′ là giao điểm của d và (P). Suy ra d∩d′=I. Mặt khác d′ vuông góc với d nên tích có hướng của vectơ chỉ phương của d với vectơ pháp tuyến của (P)là một vectơ chỉ phương của d′.
Ta có →nP=(1;−1;−1) và →ud=(3;−1;2) suy ra vectơ chỉ phương của d′ là →ud′=(−1;−5;2).
Phương trình tham số của d′ là d′:{x=−7−1ty=2−5tz=−9+2t.