Giải bài 5.7 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\). Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?
Đề bài
Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\). Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhận xét thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng, sau đó so sánh khoảng cách tìm được với 1 để trả lời câu hỏi về việc kê tủ đề yêu cầu.
Lời giải chi tiết
Xét hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;2;2} \right)\) và \( - 1 \ne - 3\).
Suy ra \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\) và chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Lấy \(A\left( {1;0;0} \right) \in \left( \alpha \right)\). Chiều cao căn phòng là \(d\left( {\alpha ,\beta } \right) = d\left( {A,\beta } \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Vì \(\frac{2}{3} < 1\) nên chiều cao của căn phòng không đủ để kê tủ có chiều cao bằng 1.