Giải bài 5. 4 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {2; - 1;0} \right)$, $B\left( {3;1;2} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x + 2y + 3z - 1 = 0$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa A, B và song song với trục $Ox$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;2} \right)$, vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha  \right)$ là $\overrightarrow n  = \left( {1;2;3} \right)$.

Do $\left( \beta  \right)$ chứa A, B và $\left( \beta  \right) \bot \left( \alpha  \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right]$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \beta  \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng của $\left( \beta  \right)$ là $2\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 1} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0$.

b) Do $\left( \beta  \right)$ chứa A, B và $\left( \beta  \right)\parallel  Ox$ nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } \right]$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \beta  \right)$ (do $\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của $Ox$).

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;2; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng của $\left( \beta  \right)$ là $0\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0$.