Giải bài 5.5 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm H(3;2;4). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho điểm H(3;2;4).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Chọn một điểm A bất kì thuộc Oy, khi đó ta có (P) đi qua A. Tích có hướng của →AH
và →j=(0;1;0) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Ý b: Chứng minh H là hình chiếu của O trên (ABC), mặt phẳng cần tìm đi qua H và có vectơ pháp tuyến là →OH.
Lời giải chi tiết
a) Ta lấy O(0;0;0)∈Oy suy ra O∈(P).
Ta có →OH=(3;2;4).
Do (P) chứa O, H và Oy suy ra (P) nhận [→OH,→j] làm vectơ pháp tuyến, vì →j=(0;1;0) là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có [→OH,→j]=(−4;0;3).
Phương trình mặt phẳng của (P) là −4(x−0)+0(y−0)+3(z−0)=0⇔−4x+3z=0.
b) Giả sử D,E lần lượt là hình chiếu của A,B trên cạnh BC và AC.
Ta có {AD⊥BCBE⊥ACAD∩BE=H.
Do Ox⊥(yOz) nên AO⊥(OBC). Khi đó có OD là hình chiếu của AD trên (OBC),
mà AD⊥BC suy ra OD⊥BC(định lý ba đường vuông góc).
Vì vậy BC⊥(OAD). Mặt khác OH⊂(OAD) nên BC⊥OH(1).
Chứng minh tương tự ta có OE là hình chiếu của BE trên (OAC) suy ra AC⊥OH(2).
Từ (1) và (2) suy ra OH⊥(ABC) hay H là hình chiếu của O trên (ABC).
(Q) có vectơ pháp tuyến là →OH=(3;2;4).
Phương trình mặt phẳng (Q) là 3(x−3)+2(y−2)+4(z−4)=0⇔3x−2y+4z−29=0.