Giải bài 5.11 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:{x=1+2ty=−2+tz=4−3t và d′:{x=1−2sy=2−sz=5+3s a) Chứng minh rằng d∥d′. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d′.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:{x=1+2ty=−2+tz=4−3t và d′:{x=1−2sy=2−sz=5+3s
a) Chứng minh rằng d∥d′.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương và lấy một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d chỉ ra điểm đó không thuộc d′.
Ý b: Lấy A,B lần lượt thuộc d và d′, tích có hướng của →AB và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết
a) Vectơ chỉ phương của d, d′ lần lượt là →ud=(2;1;−3) và →ud′=(−2;−1;3).
Ta có →ud=−→ud′ hay cùng phương do đó d và d′ song song hoặc trùng nhau.
Lấy A(1;−2;4)∈d ta sẽ kiểm tra A có thuộc d′ hay không.
Thay tọa độ A vào phương trình của d′ ta có
{1=1−2s−2=2−s4=5+3s⇒{s=0s=4s=−13(Vô lý). Do đó d′ không đi qua A.
Vậy d∥d′.
b) Lấy B(1;2;5)∈d′, do d∥d′ nên mặt phẳng (P)chứa hai đường thẳng này nhận tích có hướng của →AB và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến.
Xét →ud=(2;1;−3) và →AB=(0;4;1) ta có [→ud;→AB]=(13;−2;8)=→nP.
Phương trình mặt phẳng của (P) là 13(x−1)−2(y+2)+8(z−4)=0⇔13x−2y+8z−49=0.