Giải bài 5. 39 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.$ và $\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + s\\y = 2 - s\\z = 3 + 2s\end{array} \right.$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$.

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$.

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua $A\left( { - 3;2;2} \right)$ và song song với đường thẳng $\Delta$.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$ lần lượt là $\overrightarrow u  = \left( {3;2;1} \right)$ và $\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Ta thấy hai vectơ chỉ phương này không cùng phương.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {2;1; - 1} \right)$, $\Delta '$ đi qua điểm $N\left( { - 1;2;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;1;4} \right)$; $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {5; - 5; - 5} \right)$.

Xét $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {MN}  =  - 40 \ne 0$. Suy ra hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$chéo nhau.

b) Ta có $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {3 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {9 + 4 + 1}  \cdot \sqrt {1 + 1 + 4} }} = \frac{3}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}$.

c) Do d song song với $\Delta$ nên nó có cùng vectơ chỉ phương với $\Delta$.

Suy ra một vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u  = \left( {3;2;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 3t\\y = 2 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.$.