Giải bài 5.42 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ:{x=3+2ty=−2+tz=1+3t và Δ′:x+23=y−32=z−1−2. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ và song song với đường thẳng Δ′.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ:{x=3+2ty=−2+tz=1+3t và Δ′:x+23=y−32=z−1−2.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ và song song với đường thẳng Δ′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Tính tích vô hướng của tích có hướng của hai vectơ chỉ phương với →AB, với A, B lần lượt thuộc Δ và Δ′.
Ý b: Mặt phẳng (P) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.
Lời giải chi tiết
a) Vectơ chỉ phương của Δ là →u=(2;1;3), vectơ chỉ phương của Δ′ là →u′=(3;2;−2).
Đường thẳng Δ đi qua A(3;−2;1), đường thẳng Δ′ đi qua B(−2;3;1).
Ta có [→u,→u′]=(−8;14;1); →AB=(−5;5;0). Suy ra [→u,→u′]⋅→AB=110≠0.
Do đó Δ và Δ′ chéo nhau.
b) Do (P) chứa Δ và song song với đường thẳng Δ′ nên (P) có một vectơ pháp tuyến là [→u,→u′]=(−8;14;1) và (P) chứa điểm A(3;−2;1).
Phương trình mặt phẳng của (P) là −8(x−3)+14(y+2)+1(z−1)=0⇔−8x+14y+z+51=0.