Giải bài 5. 41 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + z + 5 = 0$.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta '$ nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt $\Delta$ và vuông góc với $\Delta$.

c) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Ta có I thuộc $\Delta$ nên I$\left( {1 + t;2t; - 1 - 2t} \right)$.

Mặt khác I thuộc (P) suy ra $2\left( {1 + t} \right) + 2t - 1 - 2t + 5 = 0 \Leftrightarrow 2t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 3$.

Do đó, I$\left( { - 2; - 6;5} \right)$.

b) Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Đường thẳng $\Delta '$ nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với $\Delta$ nên $\Delta '$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {u'}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {4; - 5; - 3} \right)$.

Mặt khác có đường thẳng $\Delta '$ nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt $\Delta$ nên I thuộc $\Delta '$.

Phương trình đường thẳng $\Delta '$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.$

c) Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 2 - 1} \right|}}{{\sqrt 9  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }}$ suy ra $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx {15,8^ \circ }$.