Giải bài 5.40 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( {3; - 2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\). a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P). c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và d vuông góc với (P).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( {3; - 2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\).
a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P).
c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và d vuông góc với (P).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Ý b: Bán kính mặt cầu (S) là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).
Ý c: Vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết
a) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{{12}}{3} = 4\).
b) Do mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4\).
Phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\).
c) Do d vuông góc với (P) nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) là
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
Phương trình đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2 - 2t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).