Giải bài 5.47 trang 39 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (Aleft( {2; - 1; - 3} right)); (Bleft( {3;0; - 1} right)) và mặt phẳng (left( P right):x - 3y - z - 5 = 0). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\); \(B\left( {3;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\) là một vectơ pháp tuyến của (Q).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3; - 1} \right)\).
Do (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) một vectơ pháp tuyến của (Q) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {5;3; - 4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q) là \(5\left( {x - 3} \right) + 3y - 4\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 4z - 19 = 0\).