Giải bài 5 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho phương trình ({x^2} + 4x + m = 0). a) Giải phương trình với (m = 1). b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ({x_1},{x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 10).
Đề bài
Cho phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\).
a) Giải phương trình với \(m = 1\).
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(m = 1\) vào phương trình đầu bài cho, ta thu được phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn.
b) + Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm và viết định lí Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).
+ Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\).
+ Thay \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) đã tính theo định lí Viète vào biểu thức vừa biến đổi, ta được phương trình ẩn m, từ đó tìm m, đối chiếu với điều kiện của m và đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Với \(m = 1\) ta có: \({x^2} + 4x + 1 = 0\).
Vì \(\Delta ' = {2^2} - 1 = 3\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 2 - \sqrt 3 \); \({x_2} = - 2 + \sqrt 3 \).
b) \({x^2} + 4x + m = 0\) (*)
Phương trình (*) có hai nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0\), tức là \(4 - m \ge 0\), suy ra \(m \le 4\) (1).
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = - 4;{x_1}.{x_2} = m\).
Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)
Do đó, \({\left( { - 4} \right)^2} - 2.m = 10\), suy ra \(m = 3\) (thỏa mãn (1)).
Vậy \(m = 3\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.