Giải bài 5 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho phương trình ({x^2} + 4x + m = 0). a) Giải phương trình với (m = 1). b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ({x_1},{x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 10).
Đề bài
Cho phương trình x2+4x+m=0.
a) Giải phương trình với m=1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x21+x22=10.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay m=1 vào phương trình đầu bài cho, ta thu được phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn.
b) + Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm và viết định lí Viète để tính x1+x2;x1.x2.
+ Biến đổi x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=10.
+ Thay x1+x2;x1.x2 đã tính theo định lí Viète vào biểu thức vừa biến đổi, ta được phương trình ẩn m, từ đó tìm m, đối chiếu với điều kiện của m và đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Với m=1 ta có: x2+4x+1=0.
Vì Δ′=22−1=3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−2−√3; x2=−2+√3.
b) x2+4x+m=0 (*)
Phương trình (*) có hai nghiệm khi Δ′≥0, tức là 4−m≥0, suy ra m≤4 (1).
Theo định lí Viète ta có: x1+x2=−4;x1.x2=m.
Ta có:
x21+x22=x21+2x1x2+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2=10
Do đó, (−4)2−2.m=10, suy ra m=3 (thỏa mãn (1)).
Vậy m=3 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.