Giải bài 5 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Hai máy X và Y cùng sản xuất một sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90%. Một hộp chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp.

a) Tính xác suất cả 2 sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn.

b) Biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn, tính xác suất chúng do máy Y sản xuất.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $A$ là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn” và $B$ là biến cố “Cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất”.

Vì trong hộp có chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất nên xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất là: $P\left( B \right) = \frac{{{C}_9^2}}{{{C}_{10}^2}} = 0,8$.

Do đó $P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X là 95% và máy Y lần lượt và 90% nên ta có $P\left( {A|B} \right) = 0,9.0,9 = 0,81$ và $P\left( {A|\overline B } \right) = 0,9.0,95 = 0,855$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất cả hai sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn là:

$P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( B \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,81 + 0,2.0,855 = 0,819$.

b) Theo công thức Bayes, xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất, biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn là:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8.0,81}}{{0,819}} = \frac{{72}}{{91}} \approx 0,791$.