Giải bài 5 trang 84 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Ở một trại dưỡng lão, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là 25%. Tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch. Tính xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc.
Đề bài
Ở một trại dưỡng lão, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là 25%. Tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch. Tính xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: P(A)=P(B).P(A|B)+P(¯B).P(A|¯B).
‒ Sử dụng công thức Bayes: P(B|A)=P(B).P(A|B)P(A).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố “Một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch” và B là biến cố “Một người ở trại dưỡng lão hút thuốc”.
Do ở trại dưỡng lão đó, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là 25% nên ta có P(A)=0,25.
Do đó P(¯A)=1−0,25=0,75.
Gọi tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch là a(0≤a≤1). Do tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch nên P(B|¯A)=a và P(B|A)=2a.
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một người ở trại dưỡng lão hút thuốc là
P(B)=P(A)P(B|A)+P(¯A)P(B|¯A)=0,25.2a+0,75.a=1,25a.
Theo công thức Bayes, xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc là:
P(A|B)=P(A).P(B|A)P(B)=0,25.2a1,25a=0,4.