Giải bài 54 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn →AM=12→AB,→AN=15→AC,→AP=13→AD. Đặt →AB=→a,→AD=→b. Biểu thị các vectơ →AN,→MN,→NP theo các vectơ →a,→b và chứng minh ba điểm M, N,
Đề bài
Cho hình bình hành ABCD . Lấy các điểm M , N , P thoả mãn →AM=12→AB,→AN=15→AC,→AP=13→AD. Đặt →AB=→a,→AD=→b. Biểu thị các vectơ →AN,→MN,→NP theo các vectơ →a,→b và chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định vị trí các điểm M , N , P trên các cạnh AB , AC , AD
Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo →AB và →AD
Bước 3: Sử dụng điều kiện →MN=k→NP chứng minh M , N , P thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, M là trung điểm AB , N nằm giữa A và C , P nằm giữa A và D
a) Ta có:
+ →AN=15→AC. Theo quy tắc hình bình hành, →AB+→AD=→AC ⇒→AN=15(→AB+→AD)=15(→a+→b)
+ →MN=→AN−→AMmà →AN=15(→a+→b), →AM=12→AB=12→a
nên →MN=→AN−→AM=15(→a+→b)−12→a=−310→a+15→b
+ →NP=→AP−→AN mà →AN=15(→a+→b), →AP=13→AD=13→b
nên →NP=→AP−→AN=13→b−15(→a+→b)=−15→a+215→b
Vậy →AN=15(→a+→b); →MN=−310→a+15→b; →NP=−15→a+215→b
b) Theo a, →MN=−310→a+15→b; →NP=−15→a+215→b ⇒→MN=−310→a+15→b=32(−15→a+215→b)=32→NP
⇒→MN và →NP cùng phương. Vậy 3 điểm M , N , P thẳng hàng.