Giải bài 54 trang 89 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình đường tròn ( C ) trong mỗi trường hợp sau:

a) ( C ) có tâm I (−6 ; 2) bán kính 7

b) ( C ) có tâm I (3 ; – 7) và đi qua điểm A (4 ; 1)

c) ( C ) có tâm I (1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3 x + 4 y + 19 = 0

d) ( C ) có đường kính AB với A (−2 ; 3) và B (0 ; 1)

e) ( C ) có tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.$ và ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ ₂ : 3 x + 4 y – 1 = 0, ∆ ₃ : 3 x - 4 y + 2 = 0

Lời giải chi tiết

a) ( C ) có tâm I (−6 ; 2) bán kính 7 nên có PT: ${(x + 6)^2} + {(y - 2)^2} = 49$

b) ( C ) có tâm I (3 ; – 7) và đi qua điểm A (4 ; 1) $\Rightarrow$ Bán kính của ( C ) là $IA = \sqrt {{{(4 - 3)}^2} + {{(1 + 7)}^2}}  = \sqrt {65}$

$\Rightarrow$( C ) có PT: ${(x - 3)^2} + {(y + 7)^2} = 65$

c) ( C ) có tâm I (1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3 x + 4 y + 19 = 0

$\Rightarrow$ Bán kính của ( C ) là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆: 3 x + 4 y + 19 = 0

Ta có: $d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {3.1 + 4.2 + 19} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{30}}{5} = 6$

$\Rightarrow$( C ) có PT: ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 36$

d) ( C ) có đường kính AB với A (−2 ; 3) và B (0 ; 1)

$\Rightarrow$ ( C ) có tâm I là trung điểm của AB $\Rightarrow I( - 1;2)$

( C ) có bán kính IA = IB = $\sqrt 2$

$\Rightarrow$( C ) có PT: ${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 2$

e) ( C ) có tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.$ và ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ ₂ : 3 x + 4 y – 1 = 0, ∆ ₃ : 3 x - 4 y + 2 = 0

Do $I \in {\Delta _1}$ nên $I(1 + t;1 - t)$

Theo giả thiết, $R = d(I,{\Delta _2}) = d(I,{\Delta _3}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3(1 + t) + 4(1 - t) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {3(1 + t) - 4(1 - t) + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }}$

$\Leftrightarrow \left| {6 - t} \right| = \left| {7t + 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 - t = 7t + 1\\6 - t =  - 7t - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{5}{8}\\t = \frac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.$

Với $t = \frac{5}{8} \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{8};\frac{3}{8}} \right)$ $\Rightarrow$$R = \frac{{43}}{{40}}$. Khi đó ( C ) có PT: ${\left( {x - \frac{{13}}{8}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{8}} \right)^2} = \frac{{1849}}{{1600}}$

Với $t =  - \frac{7}{6} \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{6};\frac{{13}}{6}} \right)$$\Rightarrow$$R = \frac{{43}}{{30}}$. Khi đó ( C ) có PT: ${\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{6}} \right)^2} = \frac{{1849}}{{900}}$