Giải bài 54 trang 89 SBT toán 10 - Cánh diều
Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:
Đề bài
Viết phương trình đường tròn ( C ) trong mỗi trường hợp sau:
a) ( C ) có tâm I (−6 ; 2) bán kính 7
b) ( C ) có tâm I (3 ; – 7) và đi qua điểm A (4 ; 1)
c) ( C ) có tâm I (1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3 x + 4 y + 19 = 0
d) ( C ) có đường kính AB với A (−2 ; 3) và B (0 ; 1)
e) ( C ) có tâm I thuộc đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 2 : 3 x + 4 y – 1 = 0, ∆ 3 : 3 x - 4 y + 2 = 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Từ câu a câu d xác định bán kính của (C) rồi viết PT đường tròn dạng chính tắc
+) Xét câu e
Bước 1: Tham số hóa tọa độ tâm I
Bước 2: Lập PT từ giả thiết: \(d(I,{\Delta _2}) = d(I,{\Delta _3})\)
Bước 3: Giải PT tìm được ở bước 2 để tìm tọa độ tâm I và bán kính đường tròn rồi viết PT đường tròn dạng chính tắc
Lời giải chi tiết
a) ( C ) có tâm I (−6 ; 2) bán kính 7 nên có PT: \({(x + 6)^2} + {(y - 2)^2} = 49\)
b) ( C ) có tâm I (3 ; – 7) và đi qua điểm A (4 ; 1) \( \Rightarrow \) Bán kính của ( C ) là \(IA = \sqrt {{{(4 - 3)}^2} + {{(1 + 7)}^2}} = \sqrt {65} \)
\( \Rightarrow \)( C ) có PT: \({(x - 3)^2} + {(y + 7)^2} = 65\)
c) ( C ) có tâm I (1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3 x + 4 y + 19 = 0
\( \Rightarrow \) Bán kính của ( C ) là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆: 3 x + 4 y + 19 = 0
Ta có: \(d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {3.1 + 4.2 + 19} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{30}}{5} = 6\)
\( \Rightarrow \)( C ) có PT: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 36\)
d) ( C ) có đường kính AB với A (−2 ; 3) và B (0 ; 1)
\( \Rightarrow \) ( C ) có tâm I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I( - 1;2)\)
( C ) có bán kính IA = IB = \(\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \)( C ) có PT: \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 2\)
e) ( C ) có tâm I thuộc đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 2 : 3 x + 4 y – 1 = 0, ∆ 3 : 3 x - 4 y + 2 = 0
Do \(I \in {\Delta _1}\) nên \(I(1 + t;1 - t)\)
Theo giả thiết, \(R = d(I,{\Delta _2}) = d(I,{\Delta _3}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3(1 + t) + 4(1 - t) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {3(1 + t) - 4(1 - t) + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {6 - t} \right| = \left| {7t + 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 - t = 7t + 1\\6 - t = - 7t - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{5}{8}\\t = \frac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{5}{8} \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{8};\frac{3}{8}} \right)\) \( \Rightarrow \)\(R = \frac{{43}}{{40}}\). Khi đó ( C ) có PT: \({\left( {x - \frac{{13}}{8}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{8}} \right)^2} = \frac{{1849}}{{1600}}\)
Với \(t = - \frac{7}{6} \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{6};\frac{{13}}{6}} \right)\)\( \Rightarrow \)\(R = \frac{{43}}{{30}}\). Khi đó ( C ) có PT: \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{6}} \right)^2} = \frac{{1849}}{{900}}\)