Giải bài 54 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho khối tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính:

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

b) Chiều cao và thể tích của khối tứ diện đều $ABCD$.

c) Côsin của góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

d) Côsin của số đo góc nhị diện $\left[ {C,AB,D} \right]$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Do $ABCD$ là tứ diện đều, ta suy ra các tam giác $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ là các tam giác đều.

Tam giác $ABC$ đều có $M$ là trung điểm của $AB$, nên ta có $CM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $DM \bot AB$.

Như vậy, do $CM \bot AB$, $DM \bot AB$ nên $\left( {CDM} \right) \bot AB$, điều này suy ra $MN \bot AB$. Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra $MN \bot CD$.

Vậy $MN$ là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng $AB$ và $CD$, từ đó khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ là đoạn thẳng $MN$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, đường cao $CM$ nên ta có $CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Tương tự, ta cũng có $DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $CN = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.

Tam giác $CMN$vuông tại $N$, nên$MN = \sqrt {C{M^2} - C{N^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

b) Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( {BCD} \right)$. Ta có $AE$ là đường cao của tứ diện $ABCD$.

Do $ABCD$ là tứ diện đều, nên $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BCD$. Do $BCD$ là tam giác đều, nên $E$ cũng là trọng tâm của tam giác $BCD$. Mà $N$ là trung điểm của $CD$, nên ta có $BE = \frac{2}{3}BN$.

Tam giác $BCD$ đều cạnh $a$, đường cao $BN$ nên ta có $BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$, nên $AE = \sqrt {A{B^2} - B{E^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Vậy chiều cao của tứ diện đều là $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Do đáy $BCD$ là tam giác đều cạnh $a$, nên diện tích đáy của tứ diện là $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy thể tích của khối tứ diện $ABCD$ là $V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$.

c) Do $E$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( {BCD} \right)$, nên góc giữa $AB$ và $\left( {BCD} \right)$ là góc $\widehat {ABE}$.

Tam giác $ABE$ vuông tại $E$, nên ta có $\cos \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy côsin góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

d) Theo câu a, ta có $CM \bot AB$ và $DM \bot AB$, nên $\widehat {CMD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {C,AB,D} \right]$.

Áp dụng định lí cos trong tam giác $CMD$, ta có

$\cos \widehat {CMD} = \frac{{C{M^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2CM.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện $\left[ {C,AB,D} \right]$ bằng $\frac{1}{3}$.