Giải bài 55 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu làSn=n(−1−5n)2
Đề bài
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu làSn=n(−1−5n)2 với n∈N∗.
a) Tính u1, u2 và u3.
b) Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
c) Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta có Sn là tổng n số hạng đầu tiên của dãy.
Với n=1 ta có S1=u1
Với n=2 ta có S2=u1+u2
Với n=3 ta có S3=u1+u2+u3
Giải hệ phương trình, ta tính được u1, u2 và u3.
b) Sử dụng công thức un=Sn−Sn−1
c) Để chứng minh (un) là cấp số cộng, từ kết quả câu b, ta cần chứng minh un−un−1 là hằng số.
Lời giải chi tiết
a, Ta có
S1=u1⇒u1=1(−1−5.1)2=−3
S2=u1+u2=S1+u2⇒u2=S2−S1=2(−1−5.2)2−1(−1−5.1)2=−8
S3=u1+u2+u3=S2+u3⇒u3=S3−S2=3(−1−5.3)3−2(−1−5.2)2=−13
Vậy ba số hạng đầu của dãy số là −3, −8, −13.
b) Ta có
Sn=u1+u2+...+un−1+un, Sn−1=u1+u2+...+un−1
⇒un=Sn−Sn−1=n(−1−5n)2−(n−1)[−1−5(n−1)]2=n−5n22−(n−1)(4−5n)2
=n−5n2−(−4+5n2+9n)2=4−10n2=2−5n
c) Xét un−un−1=(2−5n)−[2−5(n−1)]=(2−5n)−(2−5n+5)=5.
Do un−un−1=5 là hằng số, dãy số (un) là cấp số cộng.