Giải bài 55 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính:

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A'B'C'D'} \right)$.

b) Số đo của góc nhị diện $\left[ {A,CD,B'} \right]$.

c) Tang của góc giữa đường thẳng $BD'$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $C'D$ và $BC$.

e*) Góc giữa hai đường thẳng $BC'$ và $CD'$.

Lời giải chi tiết

a) Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương, nên ta có $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$, $AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)$. Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A'B'C'D'} \right)$ cũng bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$, và bằng $AA'$.

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương cạnh $a$, nên ta có $AA' = a$.

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A'B'C'D'} \right)$ bằng $a$.

b) Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương, nên ta có $AD \bot CD$, $CD \bot \left( {DAA'D'} \right)$ và $ADD'A'$ là hình vuông.

Ta nhận xét rằng $A'D\parallel B'C$, và $CD \bot A'D$ (do $CD \bot \left( {DAA'D'} \right)$), cùng với $AD \bot CD$, ta suy ra $\widehat {ADA'}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,CD,B'} \right]$.

Vì $ADD'A'$ là hình vuông nên $\widehat {ADA'} = {45^o}$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {A,CD,B'} \right]$ bằng ${45^o}$.

c) Do $D$ là hình chiếu của $D'$ trên $\left( {ABCD} \right)$, nên $\widehat {DBD'}$ là góc tạo bởi đường thẳng $BD'$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, nên ta có $BD = a\sqrt 2$.

Ta có $\tan \widehat {DBD'} = \frac{{DD'}}{{BD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (tam giác $DBD'$ vuông tại $D$)

Vậy tang của góc tạo bởi đường thẳng $BD'$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $DC'$ và $D'C$. Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương, nên $DCC'D'$ là hình vuông, suy ra $IC \bot DC'$.

Mặt khác, cũng do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương, ta suy ra $BC \bot \left( {DCC'D'} \right)$, điều này dẫn tới $IC \bot BC$.

Như vậy, ta có $IC$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $BC$ và $DC'$, tức khoảng cách giữa $BC$ và $DC'$ là đoạn thẳng $IC$.

Do $DCC'D'$ là hình vuông cạnh $a$, nên $D'C = a\sqrt 2  \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy khoảng cách giữa $BC$ và $DC'$ là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

e*) Do $AD'\parallel BC'$ nên góc giữa $BC'$ và $CD'$ băng góc giữa $AD'$ và $CD'$, tức là góc $\widehat {AD'C}$.

Tam giác $AD'C$ có $AD' = D'C = AC$ (do đều là mỗi đường chéo của các mặt trong hình lập phương) nên tam giác $AD'C$ đều. Suy ra $\widehat {AD'C} = {60^o}$.

Vậy góc giữa $BC'$ và $CD'$ bằng ${60^o}$.