Giải bài 55 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho tứ diện $ABCD$ . Trên cạnh $CD$ lấy hai điểm $M$ và $N$ khác nhau

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ . Trên cạnh $CD$ lấy hai điểm $M$ và $N$ khác nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng $AM$ và $BN$ không cắt nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh bằng phương pháp “phản chứng”: Giả sử $AM$ cắt $BN$ , ta sẽ chứng minh được $A$ , $B$ , $C$ , $D$ đồng phẳng, và đây là điều vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Giả sử $AM$ cắt $BN$ . Như vậy tồn tại mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $AM$ và $BN$ .

Do $M$ và $N$ cùng nằm trên $\left( P \right)$ , ta suy ra đường thẳng $MN$ cũng nằm trên $\left( P \right)$ . Từ đó $C$ và $D$ cũng thuộc $\left( P \right)$ .

Như vậy $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cùng thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ . Điều này là vô lí, do với mọi tứ diện $ABCD$ thì 4 điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ luôn không đồng phẳng.