Giải bài 56 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC . Lấy các điểm A' , B' , C' không trùng với đỉnh của tam giác và

lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CA thoả mãn $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}$. Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ .

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}  = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$

Xét $\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'}$

$= \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) + 3\overrightarrow {GG'}  = 3\overrightarrow {GG'}$ (1)

Mặt khác, đặt $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AA' = kAB\\BB' = kBC\\CC' = kCA\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = k\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BB'}  = k\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CC'}  = k\overrightarrow {CA} \end{array} \right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $3\overrightarrow {GG'}  = k\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC}  + k\overrightarrow {CA}  = k\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0$

Do đó G và G’ trùng nhau. Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.