Giải bài 56 trang 89 SBT toán 10 - Cánh diều
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x + 2)2 + (y − 4)2 = 25 và điểm A(-1; 3).
Đề bài
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C ): ( x + 2) 2 + ( y − 4) 2 = 25 và điểm A (-1; 3).
a) Xác định vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn ( C )
b) Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn tại M và N . Viết phương trình đường thẳng d sao cho MN ngắn nhất
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (C)
Bước 2: So sánh độ dài IA và bán kính R để xét vị trí tương đối của A với ( C )
Bước 3: Áp dụng tính chất dây cung càng xa tâm có độ dài càng nhỏ để tìm GTLN của d(I,d)
Bước 4: Viết PTTQ của d với các yếu tố tìm được ở bước 3
Lời giải chi tiết
a) ( C ) có tâm I (-2 ; 4) và bán kính R = 5
Ta có: →IA=(1;−1)⇒IA=√2
Có: IA=√2<R⇒ Điểm A nằm bên trong đường tròn ( C )
b) Theo giả thiết, d cắt ( C ) tại 2 điểm M , N thỏa mãn MN ngắn nhất ⇔ khoảng cách từ tâm I đến d lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của I trên d . Ta có: IH≤IA
⇒ IH đạt GTLN khi và chỉ khi H trùng với A
⇒IA⊥d ⇒d nhận →IA=(1;−1) làm vectơ pháp tuyến nên có PT: x – y + 4 = 0