Giải bài 6.20 trang 13 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho phương trình bậc hai (ẩn x): ({x^2} - 4x + m - 2 = 0). a) Tìm điều kiện của ẩn m để phương trình có nghiệm. b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi ({x_1}) và ({x_2}) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m: (A = x_1^2 + x_2^2;B = x_1^3 + x_2^3).
Đề bài
Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x2−4x+m−2=0.
a) Tìm điều kiện của ẩn m để phương trình có nghiệm.
b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m: A=x21+x22;B=x31+x32.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có nghiệm khi Δ′≥0.
b) + Viết định lí Viète để tính x1+x2;x1.x2.
+ Biến đổi x21+x22=(x21+2x1x2+x22)−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2, từ đó tính được giá trị biểu thức.
+ Biến đổi B=x31+x32=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2), từ đó tính được giá trị biểu thức.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: Δ′=(−2)2−1.(m−2)=6−m.
Phương trình đã cho có nghiệm khi Δ′≥0, tức là 6−m≥0, suy ra m≤6.
b) Theo định lí Viète ta có x1+x2=4;x1.x2=m−2.
Ta có:
A=x21+x22=(x21+2x1x2+x22)−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2.
Thay x1+x2=4;x1.x2=m−2 vào A ta có:
A=42−2(m−2)=20−2m.
B=x31+x32=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)
Thay x1+x2=4;x1.x2=m−2 vào B ta có:
B=43−3.(m−2).4=88−12m.