Giải bài 6.23 trang 10 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho biểu thức P=2x−6x3−3x2−x+3+2x21−x2−6x−3(x≠3,x≠1,x≠−1)
Đề bài
Cho biểu thức P=2x−6x3−3x2−x+3+2x21−x2−6x−3(x≠3,x≠1,x≠−1)
a) Rút gọn phân thức 2x−6x3−3x2−x+3.
b) Chứng tỏ rằng có thể viết P=a+bx−3 trong đó a, b là những hằng số.
c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để chứng minh:
+ Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một biểu thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn
+ Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
b) Sử dụng kiến thức trừ hai phân thức cùng mẫu để tính: Trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: AM−BM=A−BM
c) Một phân số là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số (hay mẫu số là ước của tử số).
Lời giải chi tiết
a) 2x−6x3−3x2−x+3=2x−6x2(x−3)−(x−3)=2(x−3)(x2−1)(x−3)=2x2−1
b) P=2x−6x3−3x2−x+3+2x21−x2−6x−3=2x2−1−2x2x2−1−6x−3
=2−2x2x2−1−6x−3=−2(x2−1)x2−1−6x−3=−2−6x−3
Vậy viết P dưới dạng P=a+bx−3, trong đó a, b là những hằng số.
c) Để P có giá trị nguyên thì −6x−3 có giá trị nguyên, khi đó x−3 là ước của 6.
Do đó, (x−3)∈Ư(6)={1;−1;2;−2;3;−3;6;−6}
Ta có bảng:
Vậy x∈{4;5;2;6;0;9;−3}