Giải bài 6.24 trang 10 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\left( {x \ne 0,x \ne 1} \right)\)
Đề bài
a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\left( {x \ne 0,x \ne 1} \right)\)
b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của x để P cũng nhận giá trị nguyên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để rút gọn: Quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.
b) Một phân số là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số (hay mẫu số là ước của tử số).
Lời giải chi tiết
a) \(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( = \frac{{x\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - {x^2} - x - 1 - {x^2} + x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^3} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{x}\)
b) Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{1}{x}\) nhận giá trị nguyên.
Do đó, x thuộc ước của 1 nên \(x \in \left\{ {1;\; - 1} \right\}\)
Mà \(x \ne 0,x \ne 1\) nên \(x = - 1\)
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của x để P cũng nhận giá trị nguyên.