Giải bài 6.29 trang 61 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B < \widehat C\).
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B < \widehat C\). Trên cạnh \(AB\), lấy điểm \(D\) sao cho \(\widehat {ACD} = \widehat B\). Cho \(AD = 5cm,BD = 15cm\) và \(CD = 12cm\).
a) Chứng minh rằng \(A{C^2} = AB.AD\)
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\).
c) Tia phân giác của góc \(A\) cắt \(CD\) tại \(M\) và cắt \(BC\) tại \(N\). Tính tỉ số \(\frac{{AM}}{{AN}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(ACD\), ta có:
\(\widehat A\) là góc chung
\(\widehat {ACD} = \widehat B\) (gt)
=> \(\Delta ABC\) ∽ \(\Delta ACD\) (g-g)
Ta có tỉ số đồng dạng:
\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}\\ AB.AD = AC.AC\\ \\ A{C^2} = AB.AD\end{array}\)
b) Vì \(\Delta ABC\) ∽ \(\Delta ACD\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\;\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \frac{{20}}{{AC}} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{{12}}\end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}A{C^2} = AB.AD\\ \Rightarrow A{C^2} = 20.5\\ \Rightarrow A{C^2} = 100\\ \Rightarrow AC = 10\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{{BC}}{{12}} \Rightarrow BC = 24\)
Vậy tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \(AB = 20;AC = 10;BC = 24\)
c) Xét tam giác \(AMD\) và tam giác \(ANC\), ta có:
\(\widehat {DAM} = \widehat {NAC}\) (do \(AN\) là tia phân giác góc A)
\(\widehat {ADM} = \widehat {ACN}\) (do \(\Delta ABC\) ∽ \(\Delta ACD\))
=> \(\Delta AMD\) ∽ \(\Delta ACN\) (g-g)
Ta có tỉ số đồng dạng:
\(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\)