Giải bài 6. 32 trang 65 SGK Toán 8 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $AH$ là đường cao và $A{H^2} = BH.CH$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $HBA$

b) Tam giác $ABC$ vuông tại A.

c) Cho $BH = \frac{5}{{13}}$, Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của $\Delta ABH$ và $\Delta ABC$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A{H^2} = BH.CH\\AH.AH = BH.CH\\\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}\end{array}$

Xét tam giác $ABH$ và tam giác $CAH$, ta có:

$\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}$

$\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (do $AH$ là đường cao)

=> $\Delta ABH$∽$\Delta CAH$ (cạnh góc vuông-góc vuông)

b) Vì $\Delta ABH$∽$\Delta CAH$, ta có tỉ lệ:

$A{H^2} = BH.CH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, suy ra tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

c) Ta có:

$\begin{array}{l}BH = \frac{5}{{13}}AB\\ \Rightarrow \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}}\end{array}$

Dựa vào tỉ lệ trên ta có $BH = 5;AB = 13$

$\Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}}  = 12$

Chu vi của tam giác $ABH$ là: $AB + BH + HA = 13 + 5 + 12 = 30$

Diện tích của tam giác $ABH$ là: $\frac{1}{2}AH.BH = \frac{1}{2}.12.5 = 30$

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $HBA$, ta có:

$\widehat A = \widehat {BHA} = 90^\circ$

$\widehat B$ là góc chung

=> $\Delta ABC$∽$\Delta HBA$ (góc nhọn-góc vuông)

Ta có tỉ lệ:

$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HB}}{{AB}}\\\frac{{13}}{{BC}} = \frac{{12}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}\\ \Rightarrow BC = 33,8;AC = 31,2\end{array}$

Chu vi của tam giác $ABC$ là: $AB + BC + AC = 13 + 33,8 + 31,2 = 78$

Diện tích của tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.31,2.13 = 202,8$

Tỉ số chu vi của $\Delta ABH$ và $\Delta ABC$ là: $\frac{{30}}{{78}} = \frac{5}{{13}}$

Tỉ số diện tích của $\Delta ABH$ và $\Delta ABC$ là: $\frac{{30}}{{202,8}} = \frac{{25}}{{169}}$