Giải bài 7 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) Các tam giác AEN và CMB là các tam giác cân; b) AN là phân giác của góc EAM; c) AB.BC = BM.AC.
Đề bài
Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Các tam giác AEN và CMB là các tam giác cân;
b) AN là phân giác của góc EAM;
c) AB.BC = BM.AC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh hai góc kề ở đáy của tam giác bằng nhau.
Chứng minh ^EAN=^NAM.
Chứng minh ∆MAB ᔕ ∆BAC (g.g) suy ra tỉ số đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Ngũ giác ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA và
^ABC=^BCD=^CDE=^DEA=^EAB.
Ta cũng có tổng 5 góc của ngũ giác đều ABCDE bằng tổng các góc của ba tam giác ABC, ACD, ADE, tức là bằng 3.180° = 540°.
Do đó, ^ABC=^BCD=^CDE=^DEA=^EAB=540o5=108o.
Xét ∆AEB cân tại A (do AB = AE) ta có:
^ABE=^AEB=180o−^EAB2=180o−108o2=36o hay ^ABM=^AEN=36o.
Tương tự, đối với ∆EAD cân tại E ta có: ^EAD=^EDA=36o hay ^EAN=36o.
Do đó ta có ^EAN=^NEA=36o .Suy ra ∆AEN cân tại N.
Tương tự, ta chứng minh được ∆MAB cân tại M (do ^MAB=^MBA=36o)
Suy ra ^AMB=180o−2^MAB=180o−2.36o=108o.
Mặt khác: ^CMB=180o−^AMB=180o−108o=72o
^MBC=^ABC−^ABM=180o−36o=72o
Suy ra tam giác CMB cân tại C.
b) Ta có ^EAB=^EAN+^NAM+^MAB
Suy ra ^NAM=^EAB−^EAN−^MAB=180o−36o−36o=36o.
Do đó ^EAN=^NAM=36o.
Vì vậy AN là phân giác của góc EAM.
c) Xét ∆MAB và ∆BAC có:
^AMB=^ABC=108o và ^BAC là góc chung.
Do đó ∆MAB ᔕ ∆BAC (g.g), suy ra ABAC=BMCB hay AB.BC = BM.AC.