Giải bài 7 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ và thoả mãn

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx}  =  - 5;f\left( 0 \right) = 1$.

Tính giá trị $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$- 5 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx}  = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}  = 3 + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}$

Vậy $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}  =  - 4$.

Mặt khác: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}  = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - f\left( 0 \right)$.

Do đó$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - f\left( 0 \right) =  - 4 \Leftrightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( 0 \right) - 4 = 1 - 4 =  - 3$.