Giải bài 7 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (fleft( x right)) liên tục trên đoạn (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) và thoả mãn (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left[ {3cos x + 2f'left( x right)} right]dx} = - 5;fleft( 0 right) = 1). Tính giá trị (fleft( {frac{pi }{2}} right)).
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) và thoả mãn
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx} = - 5;f\left( 0 \right) = 1\).
Tính giá trị \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng định nghĩa tích phân.
‒ Sử dụng tính chất: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\( - 5 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx} = 3 + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx} \)
Vậy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx} = - 4\).
Mặt khác: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx} = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - f\left( 0 \right)\).
Do đó\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - f\left( 0 \right) = - 4 \Leftrightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( 0 \right) - 4 = 1 - 4 = - 3\).