Giải bài 7 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ hoạ máy tính.

a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà $\left( {DEMM} \right)$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mái nhà $\left( {DEMM} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {DE}  = \left( {6;0;0} \right),\overrightarrow {DN}  = \left( {0;2;2} \right)$.

Khi đó, $\left[ {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DN} } \right] = \left( {0.2 - 0.2;0.0 - 6.2;6.2 - 0.0} \right) = \left( {0; - 12;12} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {DEMM} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {DEMM} \right)$ là:

$0\left( {x - 0} \right) - 12\left( {y - 0} \right) + 12\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 12y + 12{\rm{z}} - 48 = 0 \Leftrightarrow y - z + 4 = 0$.

b) $OABC.DEFH$ là hình hộp chữ nhật nên $B\left( {6;4;0} \right)$

Khoảng cách từ điểm $B$ đến mái nhà $\left( {DEMM} \right)$ bằng:

$d\left( {B,\left( {DEMM} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - 0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 4\sqrt 2$.