Giải bài 7 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một khu vực đã được thiết lập một hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400\). Một người đang sử dụng máy tính tại điểm \(M\) nằm trên điểm giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt đất \(\left( P \right):z = 0\). a) Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính kho
Đề bài
Một khu vực đã được thiết lập một hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400\). Một người đang sử dụng máy tính tại điểm \(M\) nằm trên điểm giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt đất \(\left( P \right):z = 0\).
a) Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính khoảng cách \(IJ\) của đoạn vuông góc từ \(I\) đến \(\left( P \right)\).
b) Tính độ dài đoạn thẳng \(JM\). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\).
‒ Khoảng cách \(IJ\) của đoạn vuông góc từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) chính là khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400\) có tâm \(I\left( {20;30;10} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {400} = 20\).
\(IJ = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 10\left( m \right)\).
b) Ta có \(M \in \left( S \right)\) nên \(IM = R = 20\).
Tam giác \(IJM\) vuông tại \(J\) nên ta có:
\(JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{10}^2}} = 10\sqrt 3 \approx 17,32\left( m \right)\).