Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho điểm M(3;−1;2). Tìm: a) Toạ độ điểm M′ là điểm đối xứng của điểm M qua gốc toạ độ O. b) Toạ độ điểm O′ là điểm đối xứng của điểm O qua điểm M. c) Khoảng cách từ M đến gốc toạ độ. d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxz).
Đề bài
Cho điểm M(3;−1;2). Tìm:
a) Toạ độ điểm M′ là điểm đối xứng của điểm M qua gốc toạ độ O.
b) Toạ độ điểm O′ là điểm đối xứng của điểm O qua điểm M.
c) Khoảng cách từ M đến gốc toạ độ.
d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxz).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ M′ là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I thì I là trung điểm của MM′.
‒ Khoảng cách từ M đến gốc toạ độ là độ dài đoạn thẳng OM.
‒ Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxz), ta tìm điểm M′ là hình chiếu của M đến mặt phẳng (Oxz). Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxz) bằng độ dài đoạn thẳng MM′.
Lời giải chi tiết
a) Giả sử M′(xM′;yM′;zM′).
M′ là điểm đối xứng của điểm M qua gốc toạ độ O thì O là trung điểm của MM′.
Do đó {3+xM′=2.0−1+yM′=2.02+zM′=2.0⇔{xM′=−3yM′=1zM′=−2. Vậy M′(−3;1;−2).
b) Giả sử O′(xO′;yO′;zO′).
O′ là điểm đối xứng của điểm O qua điểm M thì M là trung điểm của OO′.
Do đó {0+xO′=2.30+yO′=2.(−1)0+zO′=2.2⇔{xO′=6yO′=−2zO′=4. Vậy O′(6;−2;4).
c) OM=|→OM|=√(3−0)2+(−1−0)2+(2−0)2=√14.
d) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oxz). Khi đó M1(3;0;2).
d(M,(Oxz))=MM1=|→MM1|=√(3−3)2+(0−(−1))2+(2−2)2=1.