Giải bài 8 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng: a) Phương trình x3+5x2−8x+4=0 có duy nhất một nghiệm. b) Phương trình −x3+3x2+24x−1=0 có ba nghiệm phân biệt.
Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Phương trình x3+5x2−8x+4=0 có duy nhất một nghiệm.
b) Phương trình −x3+3x2+24x−1=0 có ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét hàm số y=f(x), lập bảng biến thiên, xem xét giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y=0 và kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Đặt y=x3+5x2−8x+4.
Tập xác định: D=R.
Ta có y′=3x2+10x−8;y′=0⇔x=−4 hoặc x=23.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng y=0 giao với đồ thị của hàm số tại đúng một điểm trong khoảng (−∞;−4). Do đó phương trình x3+5x2−8x+4=0 có duy nhất một nghiệm.
b) Đặt y=−x3+3x2+24x−1.
Tập xác định: D=R.
Ta có y′=−3x2+6x+24;y′=0⇔x=4 hoặc x=−2.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng y=0 giao với đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt. Do đó phương trình −x3+3x2+24x−1=0 có ba nghiệm phân biệt.