Giải bài 8 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^2}$ và $y = \sqrt x$ (Hình 14).

a) Tính diện tích của $D$.

b) Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.

Lời giải chi tiết

a) $S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3}$.

b) $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|dx}  = \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^4}} \right|dx}$

$x - {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 1$.

$V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^4}} \right|dx}  = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{3\pi }}{{10}}$.