Giải bài 8 trang 124, 125 vở thực hành Toán 9
Cho tam giác ABC ((widehat A) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng: a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA); b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).
Đề bài
Cho tam giác ABC (ˆA vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:
a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);
b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh AB⊥AC, AB⊥AC, mà A∈(C;CA) nên BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA)
+ Chứng minh ΔABC=ΔA′BC(c.c.c) nên ^BAC=^BA′C=90o, do đó A′B⊥A′C, suy ra BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
b) + AB⊥AC và A∈(B;BA) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). + Chứng minh tương tự ta có CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Lời giải chi tiết
(H.5.48)
a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB⊥AC, mà A∈(C;CA) do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
Hai tam giác ABC và A’BC có:
BC là cạnh chung,
AB=A′B (cùng bằng bán kính của (B; AB)),
AC=A′C (cùng bằng bán kính của (C; AC))
Do đó, ΔABC=ΔA′BC(c.c.c), suy ra ^BAC=^BA′C=90o, hay A′B⊥A′C.
Mặt khác, A′∈(C;CA′) nên BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
Vậy BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);
b) Ta có: AB⊥AC và A∈(B;BA) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Tương tự, CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Vậy CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).