Giải bài 8 trang 124, 125 vở thực hành Toán 9
Cho tam giác ABC ((widehat A) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng: a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA); b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).
Đề bài
Cho tam giác ABC (\(\widehat A\) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:
a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);
b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh \(AB \bot AC\), \(AB \bot AC\), mà \(A \in \left( {C;CA} \right)\) nên BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA)
+ Chứng minh \(\Delta ABC = \Delta A'BC\left( {c.c.c} \right)\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BA'C} = {90^o}\), do đó \(A'B \bot A'C\), suy ra BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
b) + \(AB \bot AC\) và \(A \in \left( {B;BA} \right)\) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). + Chứng minh tương tự ta có CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Lời giải chi tiết
(H.5.48)
a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC\), mà \(A \in \left( {C;CA} \right)\) do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
Hai tam giác ABC và A’BC có:
BC là cạnh chung,
\(AB = A'B\) (cùng bằng bán kính của (B; AB)),
\(AC = A'C\) (cùng bằng bán kính của (C; AC))
Do đó, \(\Delta ABC = \Delta A'BC\left( {c.c.c} \right)\), suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BA'C} = {90^o}\), hay \(A'B \bot A'C\).
Mặt khác, \(A' \in \left( {C;CA'} \right)\) nên BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).
Vậy BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);
b) Ta có: \(AB \bot AC\) và \(A \in \left( {B;BA} \right)\) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Tương tự, CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Vậy CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).