Giải bài 81 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tử giác ABCD . M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn $\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0$. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, $\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 0\\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 0\end{array} \right.$

Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AB và CD $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MQ} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .2\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0$

+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow MP \bot MQ$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ

+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ

Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định