Giải bài 9.25 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng: a) DeltaIADbacksimDeltaICB,DeltaIACbacksimDeltaIDB; b) (frac{{IC}}{{ID}} = frac{{AC}}{{AD}}.frac{{BC}}{{BD}}).
Đề bài
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng:
a) ΔIAD∽;
b) \frac{{IC}}{{ID}} = \frac{{AC}}{{AD}}.\frac{{BC}}{{BD}}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh \widehat {IAD} = \widehat {ICB}, từ đó chứng minh được \Delta IAD\backsim \Delta ICB\left( g.g \right).
+ Chứng minh \widehat {IAC} = \widehat {IDB}, từ đó chứng minh được \Delta IAC\backsim \Delta IDB\left( g.g \right).
b) Từ a ta suy ra: \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{AD}}, \frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AC}}{{BD}}. Do đó, \frac{{IC}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}.\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AC}}{{AD}}.\frac{{BC}}{{BD}}.
Lời giải chi tiết
a) Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên \widehat {IAD} + \widehat {BCD} = {180^o}. Mà \widehat {ICB} + \widehat {BCD} = {180^o} nên \widehat {IAD} = \widehat {ICB}.
Tam giác IAD và tam giác ICB có: góc I chung, \widehat {IAD} = \widehat {ICB} nên \Delta IAD\backsim \Delta ICB\left( g.g \right).
Tam giác IAC và tam giác IDB có: góc I chung, \widehat {IAC} = \widehat {IDB} (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung BC)
Do đó, \Delta IAC\backsim \Delta IDB\left( g.g \right).
b) Vì \Delta IAD\backsim \Delta ICB nên \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{AD}}; \Delta IAC\backsim \Delta IDB nên \frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AC}}{{BD}}.
Do đó, \frac{{IC}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}.\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AC}}{{AD}}.\frac{{BC}}{{BD}}.