Giải bài 9.20 trang 54 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho $Delta ABCbacksim Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng (k > 0). Gọi (O, R) và (O’, R’) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Gọi (I, r) và (I’, r’) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng (frac{R}{{R'}} = frac{r}{{r'}} = k).
Đề bài
Cho $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng \(k > 0\). Gọi (O, R) và (O’, R’) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Gọi (I, r) và (I’, r’) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng \(\frac{R}{{R'}} = \frac{r}{{r'}} = k\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(\widehat {BOC} = \widehat {B'O'C'}\), \(\widehat {CBO} = \widehat {C'B'O'}\), suy ra $\Delta BOC\backsim \Delta B'O'C'\left( g.g \right)$ nên \(\frac{R}{{R'}} = \frac{{OB}}{{O'B'}} = \frac{{OC}}{{O'C'}} = \frac{r}{{r'}} = k\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O) cùng chắn cung BC).
\(\widehat {B'O'C'} = 2\widehat {B'A'C'}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O’) cùng chắn cung B’C’).
Tam giác BOC và tam giác B’O’C’ ta có:
\(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\widehat {B'A'C'} = \widehat {B'O'C'}\);
\(\widehat {CBO} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {BOC}}}{2} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {B'O'C'}}}{2} = \widehat {C'B'O'}\)
Do đó, $\Delta BOC\backsim \Delta B'O'C'\left( g.g \right)$.
Suy ra: \(\frac{R}{{R'}} = \frac{{OB}}{{O'B'}} = \frac{{OC}}{{O'C'}} = \frac{r}{{r'}} = k\).