Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác (ABC) cân tại (A) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), bán kính 1 cm. Đặt (widehat A = alpha left( {0 < alpha < pi } right)). a) Viết biểu thức tính diện tích (S) của tam giác (ABC) theo (alpha ). b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác (ABC).
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\), bán kính 1 cm. Đặt \(\widehat A = \alpha \left( {0 < \alpha < \pi } \right)\).
a) Viết biểu thức tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) theo \(\alpha \).
b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác \(ABC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính diện tích \(S\left( \alpha \right)\), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
\(\widehat {MOC} = 2\widehat {OAC} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Do đó: \(AM = AO + OM = 1 + \cos \alpha ,BC = 2MC = 2\sin a\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}AM.BC = \frac{1}{2}2\sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right) = \sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)\\ = \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \end{array}\)
b) Xét hàm số \(S\left( \alpha \right) = \sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).
Ta có: \(S'\left( \alpha \right) = \cos \alpha + \frac{1}{2}.2\cos 2\alpha = \cos \alpha + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - 1\)
\(S'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}\) hoặc \(\cos \alpha = - 1\)
\(\alpha = \frac{\pi }{3}\) hoặc \(\alpha = \pi \) (loại)
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\pi } \right)} S\left( \alpha \right) = S\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy tam giác \(ABC\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\).