Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm $m$ để phương trình $\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m$ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

Đặt $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có

$y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc ${\rm{x}} =  - 3$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng $y = m$ giao với đồ thị của hàm số tại hai nghiệm phân biệt khi $m > 3$ hoặc $m <  - 5$. Do đó phương trình $\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m$ có hai nghiệm phân biệt khi $m > 3$ hoặc $m <  - 5$.