Giải bài 8 trang 64 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $x,y,z$ theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ $\overrightarrow {AC'}$ với các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'}$.

Chứng minh ${\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = 1$.

Lời giải chi tiết

Gọi $a,b,c,d$ lần lượt là độ dài của $AB,A{\rm{D}},AA',AC'$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$.

Tam giác $ACC'$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}$

Do đó ${d^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$.

Ta có: $\cos x = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{d},\cos y = \frac{{AD}}{{AC'}} = \frac{b}{d},\cos z = \frac{{AA'}}{{AC'}} = \frac{c}{d}$

${\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = {\left( {\frac{a}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{d^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{d^2}}}{{{d^2}}} = 1$.