Giải bài 9 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y=x−1x+2;
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y=x−1x+2;
b) y=√3x+2;
c) y=x.e2x.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mọi x∈(a;b) thì ta có hàm số y′=f′(x) xác định trên (a;b). Nếu hàm số y′=f′(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y′ là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) tại x và kí hiệu là y″ hoặc f''\left( x \right).
+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm:
a) {\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right),
b) \left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}
c) \left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}
Lời giải chi tiết
a) y' = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)'} = \frac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{x + 2 - x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}
Do đó, y'' = \left( {\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)' = {\left[ {3{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 2}}} \right]'} = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}
b) y' = \left( {\sqrt {3x + 2} } \right)' = \frac{{\left( {3x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {3x + 2} }} = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}
Do đó, y'' = {\left( {\frac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}} \right)'} = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {3x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^3}} }} = - \frac{9}{{4\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^3}} }}
c) y' = \left( {x.{e^{2x}}} \right)' = x'{e^{2x}} + x.\left( {{e^{2x}}} \right)' = {e^{2x}} + 2x{e^{2x}}
Do đó, y'' = {\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)'} = {\left( {{e^{2x}}} \right)'} + 2{\left( {x{e^{2x}}} \right)'} = 2{e^{2x}} + 2\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)
= 4{e^{2x}} + 4x{e^{2x}} = 4\left( {x + 1} \right){e^{2x}}